Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor

Author Unknown - -

Home » E. matematika » Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor

Pada tulisan ini saya akan membagikan sidikit ilmu yang saya dapat tentang bagaimana cara menghitung determinan matriks. Metode yang digunakan adalah menggunakan Ekspansi Kofaktor. Metode ini tidak hanya digunakan untuk menghitung determinan matriks 2×2 atau 3×3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4×4, 5×5 dan seterusnya. Untuk menghitung determinan menggunakan metode ini, rumusnya dijamin oleh Teorema berikut.

Teorema :

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 $\leq$ i $\leq$ n dan 1 $\leq$ j $\leq$ n, maka

det(A) = a_1jC_1j + a_2jC_2j + … + a_njC_nj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

atau

det(A) = a_i1C_i1 + a_i2C_i2 + … + a_inC_in

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

Untuk lebih memperjelas apa itu kofaktor, perhatikan Definisi dibawah ini.

Definisi :

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri a_ij dinyatakan oleh M_ij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)^i+jM_ij dinyatakan oleh C_ij dan dinamakan kofaktor entri a_ij.

Contoh 1 :

Misalkan kita punya matriks A = $\left [ \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right ]$ . Tentukan minor entri a₁₁, a₁₂, dan a₁₃. Tentukan juga kofaktor entri M₁₁, M₁₂ dan M₁₃ !

Penyelesaian :

minor entri a₁₁ adalah M₁₁ = $\left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right |$ = $\left | \begin{array}{rr} 5& 6\\ 4& 8 \end{array} \right |$ = 5(8) – 4(6) = 16

kofaktor a₁₁ adalah C₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)²(16) = 16

minor entri a₁₂ adalah M₁₂ = $\left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right |$ = $\left | \begin{array}{rr} 2& 6\\ 1& 8 \end{array} \right |$ = 2(8) – 1(6) = 10

kofaktor a₁₂ adalah C₁₂ = (-1)¹⁺²M₁₂ = (-1)³(10) = -10

minor entri a₁₃ adalah M₁₃ = $\left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right |$ = $\left | \begin{array}{rr} 2& 5\\ 1& 4 \end{array} \right |$ = 2(4) – 1(5) = 3

kofaktor a₁₃ adalah C₁₃ = (-1)¹⁺³M₁₃ = (-1)⁴(3) = 3

Contoh 2 :

Dari Contoh 1 diatas, tentukan determinan matriks A

Penyelesaian :

Menggunakan yang diberikan pada Teorema diatas dengan mengambil i = 1 dan j = 1, 2, dan 3, maka diperoleh.

det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃

= 3(16) + 1(-10) + (-4)(3)

= 48 – 10 – 3

= 35

Contoh 3 :

Tentukan determinan matriks A = $\left [ \begin{array}{rrr} 0& 6& 0\\ 8& 6& 8\\ 3& 2& 2 \end{array} \right ]$

Penyelesaian :

Menggunakan yang diberikan pada Teorema diatas dengan mengambil i = 3 dan j = 1, 2, dan 3, maka diperoleh.

det(A) = $\left | \begin{array}{rrr} 0& 6& 0\\ 8& 6& 8\\ 3& 2& 2 \end{array} \right |$

= a₃₁C₃₁ + a₃₂C₃₂ + a₃₃C₃₃

= a₃₁(-1)³⁺¹M₃₁ + a₃₂(-1)³⁺²M₃₁ + a₃₃(-1)³⁺³M₃₁

= a₃₁M₃₁ – a₃₂M₃₁ + a₃₃M₃₁

= 3 $\left | \begin{array}{rr} 6& 0\\ 6& 8 \end{array} \right |$ – 2 $\left | \begin{array}{rr} 0& 0\\ 8& 8 \end{array} \right |$ + 2 $\left | \begin{array}{rr} 0& 6\\ 8& 6 \end{array} \right |$

= 3[6(8)-0(6)] – 2[0(8)-8(0)] + 2[0(6)-8(6)]

= 144 – 0 – 96

= 48

atau jika ingin lebih cepat, kita bisa melihat entri yang mengandung nol agar lebih mempersingkat waktu mengerjakan. Karena dalam baris pertama terdapat dua entri nol, maka i = 1 dan j = 1, 2, 3 kemudian gunakan rumus.

det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃

= a₁₁(-1)¹⁺¹M₁₁ + a₁₂(-1)¹⁺²M₁₂ + a₁₃(-1)¹⁺³M₁₃

= a₁₁M₁₁ – a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃

= 0 $\left | \begin{array}{rr} 6& 8\\ 2& 2 \end{array} \right |$ – 6 $\left | \begin{array}{rr} 8& 8\\ 3& 2 \end{array} \right |$ + 0 $\left | \begin{array}{rr} 8& 6\\ 3& 2 \end{array} \right |$

= 0 – 6[8(2)-8(3)] + 0

= 48

Contoh 4 :

Tentukan determinan matriks B = $\left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]$

Penyelesaian :

dengan menggunakan kolom pertama pada matriks B sebagai kofaktor dan berdasarkan Teorema diatas dengan mengambil i = 1, 2, 3, 4 dan j = 1 maka diperoleh.

det(B) = $\left | \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right |$

= a₁₁C₁₁ + a₂₁C₂₁ + a₃₁C₃₁ – a₄₁C₄₁

= a₁₁(-1)¹⁺¹M₁₁ + a₂₁(-1)²⁺¹M₂₁ + a₃₁(-1)³⁺¹M₃₁ + a₄₁(-1)⁴⁺¹M₄₁

= a₁₁M₁₁ – a₂₁M₂₁ + a₃₁M₃₁ + a₄₁M₄₁

= 2 $\left | \begin{array}{rrr} 0& 1& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 2& 3 \end{array} \right |$ – 1 $\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 2& 3 \end{array} \right |$ + 0 $\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 3 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 0& 1& 1\\ 2& 1& 0 \end{array} \right |$

hitung lagi determinan untuk matriks 3×3 nya

= 2[ambil i = 1 dan j = 1, 2, 3] – 1[ambil i = 1, 2, 3 dan j = 3] {untuk matriks ketiga dan keempat tidak perlu dihitung karena koefesiennya 0, sehingga apabila dikali, hasilnya akan tetap = 0}

= 2[a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃] – 1[a₁₃C₁₃ + a₂₃C₂₃ + a₃₃C₃₃] + 0 – 0

= 2[a₁₁(-1)¹⁺¹M₁₁ + a₁₂(-1)¹⁺²M₁₂ + a₁₃(-1)¹⁺³M₁₃] - 1[a₁₃(-1)¹⁺³M₁₃ + a₂₃(-1)²⁺³M₂₃ + a₃₃(-1)³⁺³M₃₃]

= 2[a₁₁M₁₁ – a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃] – 1[a₁₃M₁₃ + a₂₃M₂₃ + a₃₃M₃₃]

= 2(0 $\left | \begin{array}{rr} 1& 0\\ 2& 3 \end{array} \right |$ – 1 $\left | \begin{array}{rr} 2& 0\\ 1& 3 \end{array} \right |$ + 1 $\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 2 \end{array} \right |$ ) – 1(1 $\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 2 \end{array} \right |$ – 0 $\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 1& 2 \end{array} \right |$ + 3 $\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 1 \end{array} \right |$ )