Hasil Kali Titik pada Vektor (Dot Prdoduct)

Author Muhamad Nurdin - -

Home » E. matematika » Hasil Kali Titik pada Vektor (Dot Prdoduct)

Definisi :

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan $\theta$ adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh

u.v = $\left\{\begin{matrix} \left \| u \right \| \left \| v \right \| cos \theta, \quad jika \quad u \neq 0 \quad dan \quad v \neq 0 \\ 0, \quad jika \quad u=0 \quad dan \quad v=0 \end{matrix}\right.$

$\left \| u \right \|$ artinya panjang vektor u dan didefinisikan sebagai $\left \| u \right \|$ = $\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ (jika di ruang-2) dan $\left \| u \right \|$ = $\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$ (jika di ruang-3). Panjang sebuah vektor juga dikenal dengan nama norma. Secara geometris dapat dilukiskan seperti pada gambar dibawah ini.

Gambar 1 : vektor pada ruang-2

Jika kita perhatikan, vektor u yang melalui titik asal tersebut membentuk segitiga siku-siku terhadap sumbu-x. Kita bisa memanfaatkan Rumus Pythagoras yaitu $\left \| u \right \|^2$ = u₁² + u₂² $\Rightarrow$ $\left \| u \right \|$ = $\sqrt{u_1^2+u_2^2}$

Gambar : vektor pada ruang-3.

Dengan memanfaatkan Rumus Phytagoras juga, diperoleh

$\left \| u \right \|^2$ = (OR)² + (RP)²

= (RS)² + (OS)² + (RP)²

= (OQ)² + (OS)² + (RP)²

= u₁² + u₂² + u₃²

$\left \| u \right \|$ = $\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$

Penting untuk diketahui juga bahwa sifat – sifat pada perkalian titik vektor dibawah ini :

Misalkan u, v dan w adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka

v.v = $\left \| v \right \|^2$ yakni $\left \| v \right \|$ = (v.v)^1/2

Bukti :

Karena vektor v berimpit dengan vektor v itu sendiri maka $\theta$ adalah sudut diantara v dan v adalah 0⁰, diperoleh

v.v = $\left \| v \right \|$ $\left \| v \right \|$ cos $\theta$

= $\left \| v \right \|^2$ cos 0

= $\left \| v \right \|^2$
Jika u dan v adalah vektor – vektor taknol dan $\theta$ adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka

$\theta$ lancip jika dan hanya jika u.v > 0

$\theta$ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0

$\theta$ = $\frac{\pi}{2}$ jika dan hanya jika u.v = 0

Bukti :

Perlu diingat bahwa $\theta$ akan lancip jika dan hanya jika cos $\theta$ > 0, $\theta$ akan tumpul jika dan hanya jika cos $\theta$ < 0 dan $\theta$ akan = $\frac{\pi}{2}$ (siku-siku) jika dan hanya jika cos $\theta$ = 0

Karena $\left \| u \right \|$ > 0 dan $\left \| v \right \|$ > 0 serta berdasarkan Definisi Dot Product bahwa u.v = $\left \| u \right \|$ $\left \| v \right \|$ cos $\theta$ , maka u.v memiliki tanda sama dengan cos $\theta$ .

Karena 0 $\leq \theta \leq \pi$ , maka sudut $\theta$ lancip jika dan hanya jika cos $\theta$ > 0, $\theta$ tumpul jika dan hanya jika cos $\theta$ < 0, dan $\theta$ = $\frac{\pi}{2}$ jika dan hanya jika cos $\theta$ = 0
u.v = v.u

Bukti :

u.v = (u₁, u₂, u₃).(v₁, v₂, v₃)

= (u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃)

= (v₁ u₁ + v₂ u₂ + v₃ u₃) [komutatif bil.riil]

= (v₁, v₂, v₃).(u₁, u₂, u₃)

= v.u
u.(v + w) = u.v + u.w

Bukti :

u.(v + w) = (u₁, u₂, u₃).[(v₁, v₂, v₃) + (w₁, w₂, w₃)]

= (u₁, u₂, u₃).(v₁ + w₁, v₂ + w₂, v₃ + w₃)

= (u₁[v₁ + w₁] + u₂[v₂ + w₂] + u₃[v₃ + w₃])

= ([u₁v₁ + u₁w₁] + [u₂v₂+ u₂w₂] + [u₃v₃ + u₃w₃]) [distributif bil.riil]

= ([u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃] + [u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃])

= (u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃) + (u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃)

= u.v + u.w
k(u.v) = (ku).v = u.(kv)

Bukti :

k(u.v) = k[(u₁, u₂, u₃).(v₁, v₂, v₃)]

= k(u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃)

= (k[u₁ v₁] + k[u₂ v₂] + k[u₃ v₃])

= ([ku₁]v₁ + [ku₂]v₂ + [ku₃]v₃) [asosiatif bil.rill]

= (ku).v

= (u₁[kv₁] + u₂[kv₂] + u₃[kv₃]) [komutatif bil.riil]

= u.(kv)
v.v > 0 jika v $\neq$ 0 dan v.v = 0 jika v = 0

Bukti :

Karena v $\neq$ 0 berakibat $\left \| v \right \|$ = $\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ > 0, sehingga v.v = $\left \| v \right \|^2$ > 0

Karena v = 0 berakibat $\left \| v \right \|$ = $\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ = $\sqrt{0^2+0^2+0^2}$ = 0, sehingga v.v = $\left \| v \right \|^2$ = 0